벡터의 정의

  • 벡터(Vector)는 크기(magnitude)와 방향(direction)을 모두 가진 수량(quantity)을 가르키는 말이다.
  • 크기와 방향을 모두 가진 수량을 벡터값 수량(Vector-Valued Quantity)이라고 한다.
  • 벡터값 수량의 예로는 크기와 방향을 가진 힘, 변위 그리고 속도 등이 있다.

기하학적 의미의 벡터

시각적으로 벡터는 아래의 그림처럼 나타낼 수 있다.

지향선분(Directed Line Segment)으로 표시한 벡터

벡터를 그릴때 위치는 중요하지 않다. 왜냐하면 위치를 바꾸어도 벡터의 크기와 방향은 변하지 않기 때문이다. 또 다른 말로는 벡터를 다른곳으로 이동(Translation)해도 그 벡터의 의미는 변하지 않는다.

두 벡터가 길이가 같고 같은 방향을 가르킬 때 그 두 벡터를 서로 상등(Equal)하다 라고 할 수있다.

유클리드 공간상의 벡터 (Euclidian Space Vector)

유클리드 기하학의 5개 공리가 성립되는 공간이라고 설명하면 에바쎄바 참치이고…..

유클리드 공간이란 인간에게 실용적인 공간으로, 평면과 공간에 대한 것을 일반화 한 것이다. 3차원으로 이루어진 우리가 3D 게임 엔진에서 자주 보는 직교 좌표계로 표현하는 그 공간이라고 생각하면 편하다.

좌표계상의 벡터

3차원 좌표계를 하나 두고 벡터를 모두 원점에서 시작하게 하면 벡터를 공간에 맞게 X, Y, Z 좌표로 수치적인 표현이 가능해진다.

벡터는 기준으로 하는 좌표계에 따라 좌표 표현이 달라진다. 월드좌표와 로컬좌표를 생각하면 이해가 쉽다.

왼손 좌표계와 오른손 좌표계

짱 쉬운 이해법

DirectX의 경우 왼손 좌표계, OpenGL의 경우 오른손 좌표계를 사용한다.

벡터 연산들

벡터의 좌표 표현을 이용해서 벡터의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈을 정의하면 아래와 같이 정의할 수 있다.

예로 벡터 A(Ax, Ay, Az), B(Bx, By, Bz)가 있다고 가정해보자

  • 벡터는 대응되는 좌표성분들이 같을 때 상등한다고 한다. (Ax=Bx, Ay=By, Az=Bz 일 때 A=B)
  • 벡터의 덧셈은 성분별로 이루어진다. 예를들어 A+B로 나오는 C 벡터는 C(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)이다. 벡터의 덧샘은 같은 차원에서만 가능하다.
  • 벡터에는 스칼라(Scalar)를 곱할 수 있으며 그에 대한 결과는 벡터이다. t가 하나의 스칼라라고 할 때, tA=(tAx, tAy, tAz)이다. 이를 스칼라 곱셈이라 한다.
  • 벡터의 뺄셈은 벡터의 덧샘과 스칼라 곱셈을 같이 응용해 정의한다. 구체적으로 서술하면 A-B 일 경우 A+(-1*B)가 되며 A+(-1*B)=(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz) 이다.
  • 벡터에 음의 스칼라를 곱할 경우 기하학적으로 한 벡터를 부정(Negation, 부호를 반대로 만든 것)하는 것은 그 벡터의 방향을 뒤집는 것이다.
  • 스칼라 곱셈은 벡터의 길이(크기)를 비례(확대, 축소)하는 것에 해당한다.

Bonus. 모든 벡터의 성분이 0일 경우 그 벡터를 영벡터(Zero Vector) 라고 한다.
Bonus. 벡터의 뺄셈이 A-B 로 이루어진다고 할 때, 그 벡터는 결국 B의 머리에서 A의 머리로 가는 벡터와 같다. 


그림이 최고야.

알짜힘

물리학적인 이야기지만 두 벡터를 더하고 빼어 나오는 벡터들이 힘의 단위로 계산된다면 결과값은 힘들의 합인 알짜힘(Netforce, 합력)을 구하는 것과 같은 맥락이다.

길이와 단위벡터

기하학적으로 한 벡터의 크기는 해당 지향 선분의 길이이다.

3차원에서 벡터의 크기를 구하는 방법은 피타고라스의 정리를 두 번 이용하는 것이다.

벡터의 길이를 구하는 공식은 모든 성분에 제곱을 한 뒤 루트를 씌우는 방법이다.

벡터를 방향만 나타낼 경우 벡터의 길이는 중요하지 않아진다. 그럴 때 방향 전용 벡터로 길이를 정확히 1로(단위 벡터로) 만들 수 있는 방법이 있다. 그 방법을 정규화(Normalize)라고 한다.

벡터 정규화(Vector Normalize)는 벡터의 각 성분을 벡터의 크기로 나누면 벡터가 정규화 된다.

벡터 정규화 공식

벡터의 내적

내일 써야징~

참조 :